В 1947 году Стржельчик закончил студию при БДТ. До 1989 года был ведущим актёром театра. Преподавал актёрское мастерство в Ленинградском институте театра, музыки и кинематографа, а также в Ленинградском институте культуры. В 1974 году Вячеслав Игнатьевич получил звание «Народного артиста СССР».
Дебютировал в кино ролью белофинского офицера в драме «Машенька» (1942). Сыграл ведущие роли в фильмах: «Война и мир», «Адъютант его превосходительства», «Корона Российской Империи, или Снова Неуловимые», «Приваловские миллионы», «Открытая книга», «Соломенная шляпка», «Женитьба», «Гардемарины, вперед!». Фильмография Стржельчика насчитывает более 100 актёрских работ.